Pirâmides

Olá senhores do segundo ano.

Para saber o que lhes espera na P1 do segundo bimestre, vejam como foi a prova do ano passado:

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P1 – segundo bimestre 2012 (Poliedro/SP)

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OMP

Oi gente, convido todos vocês a participarem da Olimpíada de Matemática do Poliedro.

Não se trata apenas de mais uma prova em seu extenuante cronograma , mas sim da oportunidade de ter contato com uma matemática diferente.

A prova é elaborada por mim e pelo professor Umberto Malanga das turmas ITA. Podem participar da competição tanto alunos do Ensino Médio quanto do pré-vestibular desde que tenham concluído o Ensino Médio em 2012.

Um incentivo a mais é a premiação aos alunos de melhor desempenho:

1º Lugar: Tablet Samsung Galaxy

2º Lugar: Câmera Digital CyberShot

3º Lugar: MP4 Philips

Você podem se inscrever no Portal do Aluno, mas se tiverem alguma dificuldade, podem procurar a Orientadora Elaine no 1º andar da Vila Mariana.

A prova da 1ª fase ocorrerá em 20 de maio!

Vejam como foram algumas das provas de primeira fase dos últimos três anos, preparem-se e boa prova!

OMP – 2010

OMP – 2011

OMP – 2012

Para fazer a inscrição, clique AQUI.

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Equações do segundo grau

Ola senhores do primeiro ano.

Para melhorar o rendimento do nosso aprendizado nesse momento em que estamos iniciando o estudo das funções algébricas, recomendo fortemente, para aqueles com certa dificuldade no aprendizado da álgebra, que façam uma revisão dos processos de resolução das equações de segundo grau.

Acredito que todos receberam o material extra sobre o assunto, mas se alguém faltou no dia da entrega ou recebeu, mas o cachorro comeu, basta clicar AQUI.

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Teoria das proporções

Olá senhores do segundo ano.

Para saber o que lhes espera na minha primeira prova, vejam como foi a prova P1 do ano passado:

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P1 – primeiro bimestre 2012 (Poliedro/SP)

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Para ver o gabarito clique: leia mais!

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Interpretação Gráfica

Olá senhores do primeiro ano.

Ai vão as respostas e resoluções dos exercícios da primeira lista.

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Exercício 1. (Verdadeiro ou Falso)

a) F    b) F    c) F   (gráfico não é mapa)

d) V   e) V

f) F     (o trecho CD mostra que João caminhou apenas 50 metros em 20 segundos)

g) V   h) V

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Exercício 2 = alternativa D

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Exercício 3. (Calote no Brasil)

a) O ponto A(2008, 20) mostra que, em 2008, foram devolvidos 20 cheques para cada mil cheques compensados.

b) Os pontos B(1998, 10) e B’(2000, 10) mostram que foram devolvidos 10 cheques para cada mil compensados nos anos de 1998 e 2000.

c) O ponto C(2006, 21) mostra que em 2006 o calote brasileiro já havia acabado de ultrapassar a marca de 20 cheques devolvidos para cada mil compensados. O gráfico ainda mostra que, isso aconteceu no final de 2005.

d) As extremidades do maior trecho crescente do gráfico são os pontos D(1999, 9) e C(2006, 21) que indicam o período de 1999 a 2006.

e) As extremidades dos dois únicos trechos decrescentes do gráfico são os pontos (B e D) e (C e A) que indicam os períodos de 1998 a 1999 e 2006 a 2008.

f) O ponto F(2002, 15) mostra que em 2002, foram devolvidos 15 cheques para cada mil compensados. Então, sendo X a quantidade total de cheques devolvidos em 2002, temos que:

15 ——- 1000

       X ——– 2000000

Portanto: X = 30000.

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Exercício 4 = alternativa E

De acordo com o gráfico, o saldo comercial esteve positivo no período de dezembro de 2004 a dezembro de 2007, portanto concluímos que nesse período as exportações deste país superaram suas as importações.

Saldo > 0

Exportação – Importação > 0

Exportação > Importação

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Exercício 5 (CO2) 

 

a) O ponto A mostra que, em 1820, a concentração de CO2 na atmosfera era de 290 ppm.

b) O ponto B mostra que a concentração de CO2 na atmosfera atingiu a marca da 300ppm na década de 1870.

c) O trecho CD do gráfico mostra que, no período de 1760 a 1940, a concentração de CO2 na atmosfera aumentou 310 – 280 = 30 ppm.

d) (310 – 280)ppm ¸ (1940 – 1760)anos = 30 ppm ¸ 180 anos = 1/6 ppm por ano.

e) Observando-se o trecho DE temos que a taxa anual de aumento da concentração de CO2 na atmosfera, nos dias de hoje é de (380 – 310)ppm ¸ (2010 – 1940) = 70 ppm ¸ 70 anos = 1 ppm por ano.

f)  os resultados obtidos nos itens d e e mostram que a taxa anual do aumento da concentração de  CO2 na atmosfera SEXTUPLICOU a partir de 1940 passando de 1/6 ppm/ano para 1 ppm/ano.

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Exercício 6 (Chuva e ovos)

Os pontos a, B, C e D mostram que:

a)  o índice pluviométrico atingiu a marca de 200 mm quatro vezes  durante o período considerado e

b) que isso aconteceu nos meses de novembro, fevereiro, março e abril

c) O ponto E mostra que dos meses considerados no item b, foi em novembro que se verificou a menor quantidade de ovos por armadilha.

d) O ponto F mostra que, no ano de 2007,  o índice pluviométrico atingiu 200 mm pela primeira vez ainda no mês de fevereiro, quando a quantidade de ovos por armadilha foi de aproximadamente 100 ovos.

 

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Exercício 7 = alternativa E

O melhor momento para se vender as ações da empresa B e comprar ações da empresa A, é quando as ações de B estão mais caras e as ações de A mais baratas. Isso pode ser observado no momento em que seus gráficos estão mais próximos, que acontece entre as 14 e 15 horas.

 

Bom carnaval!

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Sequências numéricas

As sequências numéricas mais estudadas no ensino médio são as progressões aritméticas e geométricas. De fato elas são as mais importantes dentre aquelas cuja a matemática do ensino médio é capaz de modelar de forma bastante abrangente.

A aplicabilidade destes modelos (PA e PG) é vasta tanto na matemática quanto no estudo de  outras matérias como a biologia e geografia. Mas, as PAs e as PGs não são as únicas sequências numéricas cobradas pelos vestibulares.

Alguns me perguntam: quais são?

Não sei os seus nomes, nem sei se elas têm nomes como já houvi:  PAA, PAG, PGG,  PQP, etc.

O que costuma acontecer nos vestibulares, é de uma questão propor uma sequência numérica que  não seja PA nem PG, mas que obedeça uma lógica matemática que é esclarecida pelo  próprio enunciado da questão. Assim, para responder à questão, o candidato tem que assimilar o comportamento  da sequência enquanto resolve a prova.

Alguém pode perguntar qual é o próximo termo da sequência (2, 4, 8, _ ) esperando a resposta 16, mas isso pode não estar correto, pois é possível que a lei de formação da sequência seja mais complexa como an = (n – 1)(n – 2)(n – 3) + 2n e, neste caso, o número 22 seria a resposta:

a1  =  (1 – 1)(1 – 2)(1 – 3) + 21  = 0 + 2 = 2

a2  =  (2 – 1)(2 – 2)(2 – 3) + 22  = 0 + 4 = 4

a3  =  (3 – 1)(3 – 2)(3 – 3) + 23  = 0 + 8 = 8

a4  =  (4 – 1)(4 – 2)(4 – 3) + 24  = 6 + 16 = 22

      É a declaração do comportamento de uma sequência que a define, não seus primeiros termos. Exemplos:

                                   A sequência dos múltiplos positivos do número 4 é (4, 8, 12, 16, 20, 24, …)

A sequência dos sucessores dos múltiplos positivos do número 4 é (5, 9, 13, 17, 21, 25, …)

                                          A sequência das potências naturais do número 5 é (1, 5, 25, 125, 625, …)

                           A sequência dos triplos das potências naturais do número 5 é (3, 15, 75, 375, …)

A sequência dos antecessores dos triplos das potências positivas de 5 é (2, 14, 74, 374, …)

        A sequência das metades das metades das metades do número 8: (4, 2, 1, 1/2, 1/4, …)

A sequência das frações unitárias: (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …)

    A sequência dos quadrados perfeitos: (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …)

A sequência dos números cem unidades maiores que os cubos perfeitos: (100,101,108,127,…)

A sequência dos senos dos múltiplos positivos de 90º: (1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, …)

A sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …)

A sequência dos números fatoriais: (1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …)

A sequência dos números triangulares: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …)

A linha de número 6 do Triângulo de Pascal: (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1)

A sequência decrescente dos divisores positivos do número 30: (30, 15, 10, 6, 5, 3, 1)

O ponto de abscissa 3 e ordenada –2 do plano cartesiano: (3, –2)

A origem do espaço tridimensional cartesiano: (0, 0, 0)

Confira  um resumo teórico que aborda duas técnicas para a modelagem das sequências numéricas:

Sequências numéricas

Faça também essas listas de exercícios:

Lista 1                             Lista 2

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