Concordância nas provas da Fau

Concordância nas provas da Fau

A concordância geométrica entre linhas retas e curvas é o assunto de maior incidência na prova de “Geometria e Funções” que compõe a bateria de avaliações de habilidades específicas da Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da Universidade de São Paulo (Fau-Usp). Desde 1996 até 2015 a concordância só ficou de fora da prova de 2004.

Baixe aqui a lista com todas as questões que envolvem o traçado de linhas tangentes nas provas de habilidades específicas da Fau-Usp desde 1996.

Lista de concordância

Bom estudo!

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Em defesa do número Pi

A circunferência não é uma reta, seus pedaços não são segmentos de reta, embora quando muito pequenos sejam frequentemente confundidos com segmentos de reta, pois apesar de tortos, os arcos de circunferência possuem comprimento da mesma forma que um barbante enrolado num carretel também possui.

Para estimarmos o comprimento total de uma circunferência basta enrolar um barbante em volta dela, depois estica-lo e medi-lo. Mas este procedimento é bastante impreciso e pode ser evitado se multiplicarmos diâmetro da circunferência pela constante matemática irracional mais antiga que conhecemos: O número Pi.

Pi

Pi é um número quase místico para todos que o estudam, mas da sua descoberta até o nosso atual nível de conhecimento e domínio, este número prestou-se a uma infinidade de aplicações que impulsionaram o estudo da matemática, o que está diretamente ligado ao avanço da nossa tecnologia.

Hoje possuímos telefones celulares que acessam a internet demonstrando a alta tecnologia das telecomunicações. Mas não se estuda o comportamento de uma onda eletromagnética sem a capacidade de manipulação aritmética do número Pi. Então, se hoje você está lendo esta postagem no seu computador, celular ou tablet, é por que algum dia, alguém estudou muita trigonometria.

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Quanto vale o “xis” de uma função?

Quando uma função é declarada sob a notação y = f(x), a sequência de símbolos ” = f(  )” serve para distinguir as variáveis da função f da seguinte maneira:

  • x, ou qualquer outra letra que seja posta entre os parênteses, a frente da letra f, é a variável livre da função.
  • y, ou qualquer outra letra que seja posta como sendo “igual à f de …” é a variável dependente da função.

Dizemos que y é dado em função de x, pois uma vez conhecido o valor de x, pode-se obter o valor de y relacionado efetuando-se apenas os cálculos aritméticos específicos de cada função f. Mas como saber qual é o valor de x?

Chama-se domínio de uma função, o conjunto no qual a variável livre da função varia. É como se a letra x representasse simultaneamente todos os números pertencentes a esse conjunto.

Por isso, podemos fazer x igual ao número que quisermos, desde que escolhido dentro desse conjunto domínio.

x ε Dom( f )

O domínio de uma função pode ser dado pelo enunciado de uma questão de forma direta ou de forma indireta mencionando o significado da variável x no contexto da questão.

Agora, se o enunciado não fizer nenhuma menção a respeito do domínio da função em questão, podemos encontrá-lo  verificando apenas 5 condições de existência.

  • Denominadores ≠ 0
  • Radicandos  0 (apenas para radicais de índice par)
  • Logaritmandos > 0
  • Bases > 0
  • Bases ≠ 1

Denominadores são expressões escritas do lado de baixo das frações, os radicandos são escritos sob o símbolo da radiciação. Já na notação de um logaritmo, o logaritmando ocupa a posição superior e a base ocupa a posição inferior.

Como são apenas 5 as condições de existência de toda álgebra estudada no ensino médio. E sendo poucas, recomendo que todo candidato competitivo memorize-as o quanto antes. Tenho a impressão de que sempre haverá uma alternativa para aquele que se esquece de verificar essas condições de existência.

Por outro lado, também é possível que um candidato sagaz possa decidir a alternativa que contem a solução correta de uma equação ou inequação sem resolvê-la. Para ver um exemplo, clique: leia mais.

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O aspecto orgânico da construção geométrica.

O aspecto orgânico da construção geométrica.

 

Por volta do século III a.C. Euclides, de Alexandria escreveu uma obra chamada “os Elementos” composta por 13 livros dos quais o primeiro tratava da geometria construtiva.

Nesta obra, Euclides estabeleceu algumas regras para construção geométrica com régua e compasso, conhecidas como postulados de Euclides. As três primeiras regras são:

– Traçar uma reta partindo de um ponto determinado até outro ponto determinado qualquer.
– Prolongar um segmento de reta indefinidamente em uma mesma direção.
– Descrever uma circunferência com centro em um ponto determinado e que passe por qualquer outro ponto determinado.

Há uma infinidade de figuras geométricas que podem ser construídas obedecendo-se somente  estas três regras e, mesmo havendo outros postulados na geometria de Euclides, a ciência das construções geométricas considera apenas as figuras que podem ser obtidas desses três.

Os postulados de Euclides não permitem que sejam traçadas retas arbitrárias ou arcos de circunferência usando-se o compasso com aberturas arbitrárias, como é muito comum na prática das construções geométricas. Mas a obediência aos postulados pode diminuir consideravelmente o número de passagens de uma construção além de manter o aspecto orgânico da construção.

Veja como obter os vértices de um pentágono regular partindo-se de dois pontos determinados A e B, em apenas dez passos e obedecendo os três primeiros postulados:

pentágono orgânico

 

Veja o roteiro dessa construção:

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Seis explicações fantasiosas sobre a origem dos algarismos

Há muito tempo que ouço histórias sobre a origem dos algarismos hindu-arábicos. Histórias nas quais os formatos dos números estão associados às quantidades que eles pretendem representar.

Algumas até fazem sentido, mas nenhuma dessas histórias tem fundamentação científica baseada em documentos históricos ou estudos paleográficos. Essas explicações levam em conta apenas as formas gráficas atuais dos algarismos desprezando a longa história da evolução das formas gráficas que hoje usamos para representar as quantidades de 1 a 9.

 

Explicação 1

Os formatos dos algarismos apresentam tantos ângulos quanto o numeral deve indicar:

Explicação fantasiosa 1

Explicação 2

Os formatos dos algarismos apresentam tantos segmentos quanto o numeral deve indicar:

Explicação fantasiosa 2

Explicação 3

Que os numerais eram representados por pontos que posteriormente teriam sido ligados dando origem aos nove sinais conhecidos:

Explicação fantasiosa 3

 

Explicação 4

Que os numerais foram inventados por um astrólogo e seus grafismos seriam resultado da partição de uma figura formada por um círculo e dois diâmetros:

Explicação fantasiosa 4

Explicação 5

Mais elaborada que as outras, afirma que as linhas formadoras dos nossos algarismos surgiram de  disposições particulares das pedras usadas para contar. As linhas seriam todas oriundas de uma única figura formada por um retângulo, suas diagonais e as mediatrizes de seus lados. O traçado de cada algarismo era feito de forma que cada pedra ficasse em uma única região angular.

Explicação fantasiosa 5

Explicação 6

Conhecida como “a lenda do anel de Salomão” , diz que os algarismos teriam sido formados a partir da inscrição de um quadrado e suas diagonais que havia em tal anel:

Explicação fantasiosa 6

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Diagonal = Diâmetro = Hipotenusa

Considere um retângulo ABCD e observe que:

  • os lados AB e CD têm mesma medida (AB = CD)
  • os lados AD e BC têm mesma medida (AD = BC)
  • os ângulos de vértices A, B, C e D são todos retos (90º)

Retângulo

Observe também que as duas diagonais de um retângulo têm o mesmo comprimento (AC = BD):

Retângulo e diagonais

Observe agora que essas diagonais dividem-se ao meio, ou seja, que o ponto M onde as diagonais se interceptam é ponto médio das duas diagonais (MA = MB = MC = MD):

Retângulo, diagonais e raio

Observando os quatro segmentos de mesmo comprimento que partem do ponto M, pode-se concluir que se circunferência tem centro M e passa por um dos vértices desse retângulo, então ela também deve passar pelos outros três vértices do retângulo.

Retângulo, diagonais e circunferência

Assim, temos de forma genérica, que:

“Todo retângulo é inscritível em uma circunferência cujo centro é o ponto de encontro das diagonais do retângulo e cujo raio tem a metade do comprimento dessas diagonais”

 

Finalmente, observe que os triângulos retângulos são retângulos cortados ao meio por uma de suas diagonais e, como todo retângulo é inscritível em uma circunferência inteira, temos que todo triângulo retângulo é inscritível em meia circunferência.

Triângulo retângulo e semicircunferência

Espero com isso, esclarecer uma propriedade geométrica que muitas vezes é esquecida pelos estudantes, e que pode ser imprescindível para a resolução de um problema:

“Todo triângulo retângulo é inscritível em uma semicircunferência cujo centro é o ponto médio da hipotenusa e cujo raio tem metade da medida dessa hipotenusa”

 

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