Programação da semana 4

Terça 2/4: Geometria – Teoria das proporções geométricas.

Em nossa última aula foram abordados os primeiros 4 teoremas da lista abaixo. Nesta terça faremos alguns exercícios referentes a estes teoremas e exploraremos as implicações dos teoremas restantes.

I- Teorema linear de Tales

II- Teoremas da bissetriz interna e externa de um triângulo

III- Teoremas da base média do triângulo e do trapézio

IV- Teorema do baricentro de um triângulo

V- Teorema da potência de um ponto em relação à uma circunferência

VI- Teorema da razão de semelhança

VII- Relações trigonométricas nos triângulos retângulos

VIII- Relações métricas nos triângulos retângulos

IX- Teorema dos senos

X- Teorema dos cossenos

 

Quarta 3/4: Reposição da aula de álgebra do curso de matemática básica.

Nesta aula estudaremos as técnicas de resolução de equações de primeiro e segundo grau, bem como as técnicas de resolução dos sistemas de equações.

 

Quarta 4/4: Equações logarítmicas e modulares.

Nesta aula estudaremos as técnicas de resolução de equações que envolvem logaritmos e a transformação modular. Veja algumas delas:

Equações log e módulo

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Diagonal = Diâmetro = Hipotenusa

Considere um retângulo ABCD e observe que:

  • os lados AB e CD têm mesma medida (AB = CD)
  • os lados AD e BC têm mesma medida (AD = BC)
  • os ângulos de vértices A, B, C e D são todos retos (90º)

Retângulo

Observe também que as duas diagonais de um retângulo têm o mesmo comprimento (AC = BD):

Retângulo e diagonais

Observe agora que essas diagonais dividem-se ao meio, ou seja, que o ponto M onde as diagonais se interceptam é ponto médio das duas diagonais (MA = MB = MC = MD):

Retângulo, diagonais e raio

Observando os quatro segmentos de mesmo comprimento que partem do ponto M, pode-se concluir que se circunferência tem centro M e passa por um dos vértices desse retângulo, então ela também deve passar pelos outros três vértices do retângulo.

Retângulo, diagonais e circunferência

Assim, temos de forma genérica, que:

“Todo retângulo é inscritível em uma circunferência cujo centro é o ponto de encontro das diagonais do retângulo e cujo raio tem a metade do comprimento dessas diagonais”

 

Finalmente, observe que os triângulos retângulos são retângulos cortados ao meio por uma de suas diagonais e, como todo retângulo é inscritível em uma circunferência inteira, temos que todo triângulo retângulo é inscritível em meia circunferência.

Triângulo retângulo e semicircunferência

Espero com isso, esclarecer uma propriedade geométrica que muitas vezes é esquecida pelos estudantes, e que pode ser imprescindível para a resolução de um problema:

“Todo triângulo retângulo é inscritível em uma semicircunferência cujo centro é o ponto médio da hipotenusa e cujo raio tem metade da medida dessa hipotenusa”

 

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Programação da semana 3

Terça 26/3: Geometria – Introdução à teoria das proporções.

Depois de tirar suas dúvidas das listas de ângulos no plano e de arcos de circunferência, pretendo invadir o estudo da teoria das proporções geométricas formada pelos seguintes teoremas:

I- Teorema linear de Tales

II- Teoremas da bissetriz interna e externa de um triângulo

III- Teoremas da base média do triângulo e do trapézio

IV- Teorema do baricentro de um triângulo

V- Teorema da potência de um ponto em relação à uma circunferência

VI- Teorema da razão de semelhança

VII- Relações trigonométricas nos triângulos retângulos

VIII- Relações métricas nos triângulos retângulos

IX- Teorema dos senos

X- Teorema dos cossenos

 

Quinta 28/3: Álgebra – Logaritmos

Esta aula será dedicada à resolução de exercícios sobre os logaritmos e os demais operadores aritméticos. Façam as listas e levem suas dúvidas que podem ser de questões fora da lista mas que envolvam o tema.

Operadores 1

Operadores 2

Depois do intervalo, vamos nos dedicar às técnicas de resolução de equações exponenciais e logarítmicas.

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Ângulos no plano

Primeira lista: Postulados

1. C          2. 45º          3. 40º          4. x =  70º          5. E

 

Segunda lista: Ângulos no plano

6. a) Sendo a e b as medidas de dois ângulos complementares adjacentes, esta situação pode ser representada pela figura de semirretas com mesma origem:

b) Estas cinco semirretas nos apresentam um total de 10 (dez) ângulos geométricos, e suas medidas podem ser representadas por:

c)

Sendo assim, a medida do ângulo formado pelas bissetrizes Oa e Ob mede:

 

7. x = 25º  e  y = 50º          8. E          9. x = 73º, y = 69º  e  z = 38º          10. D          11. E          12. E

13. a) med(DCB) = 36º e med(ADC) = 108º

       b) Sendo x = med(ACD), no triângulo ACD temos que: 36º + x + 108º = 180º  <=>  x = 36º

Portanto o triângulo ACD é isósceles de base AC e lados AD = CD.

Do enunciado temos que: BC = CD, logo: AD = BC.

14. a) 8 triângulos

       b) o triângulo ABC é isóscele de base BC,

o triângulo ACD é isóscele de base CD, e

o triângulo ABD é isóscele de base BD.

      c) alfa  =  25º   e   beta  =  10º

15. A               16. B          17. A

18. a) x = 25º          b) x = 50º           c) x = 25º

19. a) 65º  e  115º          b) 40º  e  140º          c) 60º  e  120º

20. 100º          21. 80º          22. D

 

24. 15º, 75º  e  90º

25. C           26. C          27. A

 

29. C          30. C

31. a) Isto acontece porque as medidas 60º, 90º e 120º, dos ângulos internos desses polígonos, são divisoras de 360º

b) Porque o número 108 que representa, em graus, a medida dos ângulos internos do pentágono regular, não é divisor de 360.

32. a) 1260º          b) 360º          c) 40º           d) 140º           e) 120º           f) 20º           g) 100º

33.  x = 27º,  y = 76º30’,  z = 36º  e  z = 103º30’

 

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Primeira lista de operadores

Oi Gente. Estes são alguns dos gabaritos da primeira lista envolvendo as sete operações aritméticas definidas no universo dos números reais:

  •  Exercício 5 (Aquele cheio de fatoriais);

a) 8                      f) 12                     k) 420                 n) 56!

b) 5880              g) 720                   l) 5040               o) 24!

c) 5040             h) 8                      m) 35                   p) 1/36288

d) 12                  i) 40320                                            q) 3669120

e) 6                     j) 64

  • Exercício 6 (Dos quatro números 4):

a)  15 = 4×4 – 4/4       16 = 4×4+4-4            17 = 4×4+4/4         36 = 4×(4+4)+4             60 = 4×4×4-4

b) 20 = 4!-4+4-4        26 = 4!+(4+4)/4          13 = (4!+4!+4)/4

  • Exercício 11 (Aproximações logarítmicas):

a) 1,55          b) 0,15          c) 1,7            d) 2,1            e) 0,3

f) 6,97          g) 1,08          h) 0,18          i) 0,96          j) 2,86

  • Exercício 12 (Expressões logarítmicas):

a) 3               b) 19,5           c) 2                d) 0                e) 0                f) 0

  • Testes

1.D             5.D             9.C              13.C              17.B

2.D            6.A           10.D              14.C             18.A

3.E          7.B           11.E               15.C              19.E

4.B            8.D           12.E              16.E             20.A

 

Questão 21 (Desafio PUC)

Há dois valores para cada variável a, b e c: (a=0, b =1 e c=15) ou (a=4, b=3 e c=9)

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