Linguagem matemática

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Decomposição em fatores primos

 

O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todo número inteiro, não nulo, pode ser decomposto em fatores primos de uma única maneira.

Muitos subestimam a importância desse teorema, pois costuma ser estudado apenas no ensino fundamental (até a antiga oitava série, atualmente chamada de nono ano).

Nenhum teorema é chamado de fundamental à toa e as implicações desse específico teorema fundamental são bastante extensas.

A decomposição em fatores primos permite que se descubra quantos e quias são os divisores de um número inteiro, facilita o cálculo do mmc e do mdc, e também pode ser usada na simplificação de radicais e racionalização de denominadores. Ufa! tá bom pra começar.

Ser capaz de reconhecer os número primos menores do que 100 e decompor todos o os outros rapidamente é habilidade imprescindível para o bom desempenho nos vestibulares. Para começar, saiba que:

o número 1 não é primo.

Muitos já devem ter ouvido dizer que número primo é aquele divisível apenas por um e por ele mesmo. Mas, na verdade, número primo é aquele divisível apenas por um e por ele mesmo, desde que o número um não seja ele mesmo.

Parece estranho, mas o termo “primo”, quando usado como adjetivo de um numeral, serve para classificar certos agrupamentos de quantidades plurais:

Apesar de o número um poder ser usado como representante de quantidades plurais como em “uma centena” ou em “uma dúzia”, o número “um” sozinho não indica uma quantidade plural, por isso não pode ser classificado como número primo.

Você já deve ter decomposto alguns números grandes em fatores primos escrevendo a decomposição num canto da folha e, durante essa processo, feito e respondido mentalmente a perguntas como: “dá por 2?”, “dá por 3?”, “dá por 5?” e assim por diante, não é?

Não devemos nos perguntar se “dá por 4?” ou se “da por 6?” pois 4 e 6 não são números primos e essa decomposição é para ser feita em fatores primos.

Então, se o número 1 fosse primo, essa decomposição não terminaria, pois o processo de verificações seria infinito: “Dá por 1?”, sim.  “Dá por 1?”, sim. “Dá por 1?”, sim…

 

Para entender melhor o significado do Teorema Fundamental da Aritmética, veja a lista com a decomposição dos números inteiros de 2 a 100, clicando: LEIA MAIS

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Teoria das proporções

Olá senhores do segundo ano.

Para saber o que lhes espera na minha primeira prova, vejam como foi a prova P1 do ano passado:

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P1 – primeiro bimestre 2012 (Poliedro/SP)

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Para ver o gabarito clique: leia mais!

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Interpretação Gráfica

Olá senhores do primeiro ano.

Ai vão as respostas e resoluções dos exercícios da primeira lista.

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Exercício 1. (Verdadeiro ou Falso)

a) F    b) F    c) F   (gráfico não é mapa)

d) V   e) V

f) F     (o trecho CD mostra que João caminhou apenas 50 metros em 20 segundos)

g) V   h) V

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Exercício 2 = alternativa D

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Exercício 3. (Calote no Brasil)

a) O ponto A(2008, 20) mostra que, em 2008, foram devolvidos 20 cheques para cada mil cheques compensados.

b) Os pontos B(1998, 10) e B’(2000, 10) mostram que foram devolvidos 10 cheques para cada mil compensados nos anos de 1998 e 2000.

c) O ponto C(2006, 21) mostra que em 2006 o calote brasileiro já havia acabado de ultrapassar a marca de 20 cheques devolvidos para cada mil compensados. O gráfico ainda mostra que, isso aconteceu no final de 2005.

d) As extremidades do maior trecho crescente do gráfico são os pontos D(1999, 9) e C(2006, 21) que indicam o período de 1999 a 2006.

e) As extremidades dos dois únicos trechos decrescentes do gráfico são os pontos (B e D) e (C e A) que indicam os períodos de 1998 a 1999 e 2006 a 2008.

f) O ponto F(2002, 15) mostra que em 2002, foram devolvidos 15 cheques para cada mil compensados. Então, sendo X a quantidade total de cheques devolvidos em 2002, temos que:

15 ——- 1000

       X ——– 2000000

Portanto: X = 30000.

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Exercício 4 = alternativa E

De acordo com o gráfico, o saldo comercial esteve positivo no período de dezembro de 2004 a dezembro de 2007, portanto concluímos que nesse período as exportações deste país superaram suas as importações.

Saldo > 0

Exportação – Importação > 0

Exportação > Importação

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Exercício 5 (CO2) 

 

a) O ponto A mostra que, em 1820, a concentração de CO2 na atmosfera era de 290 ppm.

b) O ponto B mostra que a concentração de CO2 na atmosfera atingiu a marca da 300ppm na década de 1870.

c) O trecho CD do gráfico mostra que, no período de 1760 a 1940, a concentração de CO2 na atmosfera aumentou 310 – 280 = 30 ppm.

d) (310 – 280)ppm ¸ (1940 – 1760)anos = 30 ppm ¸ 180 anos = 1/6 ppm por ano.

e) Observando-se o trecho DE temos que a taxa anual de aumento da concentração de CO2 na atmosfera, nos dias de hoje é de (380 – 310)ppm ¸ (2010 – 1940) = 70 ppm ¸ 70 anos = 1 ppm por ano.

f)  os resultados obtidos nos itens d e e mostram que a taxa anual do aumento da concentração de  CO2 na atmosfera SEXTUPLICOU a partir de 1940 passando de 1/6 ppm/ano para 1 ppm/ano.

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Exercício 6 (Chuva e ovos)

Os pontos a, B, C e D mostram que:

a)  o índice pluviométrico atingiu a marca de 200 mm quatro vezes  durante o período considerado e

b) que isso aconteceu nos meses de novembro, fevereiro, março e abril

c) O ponto E mostra que dos meses considerados no item b, foi em novembro que se verificou a menor quantidade de ovos por armadilha.

d) O ponto F mostra que, no ano de 2007,  o índice pluviométrico atingiu 200 mm pela primeira vez ainda no mês de fevereiro, quando a quantidade de ovos por armadilha foi de aproximadamente 100 ovos.

 

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Exercício 7 = alternativa E

O melhor momento para se vender as ações da empresa B e comprar ações da empresa A, é quando as ações de B estão mais caras e as ações de A mais baratas. Isso pode ser observado no momento em que seus gráficos estão mais próximos, que acontece entre as 14 e 15 horas.

 

Bom carnaval!

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